¿En dónde está el cero?

¡Vacaciones! Ese tiempo del año en donde abundan las reuniones familiares, la comida de las abuelas y los abrazos a personajes que solo vemos para estas épocas. Como es usual viajé a Cartagena a verme con mi familia para pasar juntos, y de manera responsable, unas felices fiestas. Desde el instante en el que llegué mis primos se apoderaron de mi agenda; me tuvieron de un lado para el otro buscando excusas para armar desorden. Un día cualquiera, buscando conseguir un permiso para salir a dar un paseo, Alejandra, mi primita, le asegura a sus padres que yo la acompañaría. Yo me encontraba atoradísimo leyendo unas cosas sobre el Nullstellensatz cuando me notifican que ya tenía plan para enseguida. Un poco desconcertado acepté, pensando también en oxigenar la cabeza para ver si terminaba de entender eso que me tenía loco. Agarré a Apollo, un pequeño y revoltoso pug, y salí.

Salimos a caminar por la playa, Apollo iba como loco jugando con la arena y con los demás animales que se encontraba, mientras que Alejandra y yo íbamos conversando. Dentro de ese vaivén de anécdotas y risas Alejandra me preguntó acerca de lo que estaba haciendo hace un rato, y yo, con la cabeza un poco en automático le respondí que estaba leyendo sobre el teorema de los ceros de Hilbert. Tan pronto me percaté que no estaba hablando solo, como de costumbre, supe que tenía que explicar de mejor manera lo que era el teorema… ¡Y ni yo lo había logrado entender bien! Recordé en ese momento algo que había leído hace unos días en Reddit que tal vez, con un poco de suerte, me ayudaría a salir bien librado de este examen sorpresa en el que me había colocado.

Se nos había acabado la playa, y como no nos encontrábamos lejos de las murallas le dije a Alejandra que me siguiera para explicarle bien. Nos sentamos en las murallas viendo al mar, le pedí que se concentrara en un punto lejano del horizonte que resultaba ser un carguero. Una vez los dos teníamos los ojos sobre el mismo carguero le induje en un viaje imaginativo. Le pedí que se imaginara que ese carguero era atacado por varios mosntruos marinos, todos con forma de serpiente. Entre risas debido a mis locas peticiones continué con mi explicación, le conté que la única manera en la que podrían los marineros salvarse de los ataques era golpeando a los dragones con mucha precisión, consiguiendo que sonara algo similar a unos tambores tribales; de lo contrario las mareas generadas por los mosntruos se los llevarían vivos. Ella, un poco extrañada, me preguntó por qué, rápidamente le contesté que porque si ellos conseguían golpear a los dragones estos podrían bailar al ritmo de la música y dejar de agitar tanto la marea. Seguí jugando un poco con la historia y con Apollo por un rato, hasta que llegó el momento de explicar qué significan tantos mostruos y historias raras… en otras palabras, mosrtarle que no estaba bajo los efectos de ninguna sustancia alucinógena. Alejandra quedó soreprendida cuando vio que era posible concebir polinomios como dragones y conjuntos como el mar. Le traté de explicar que el Teorema ese de un tal Hilbert lo que trataba de decir era que un grupo de polinomios tendrá un cero común a menos que existan otros coeficientes (que en este caso sería la música generada por los golpes) que en combinación lineal den 1 (que no hagan música tribal bonita).

Regresamos saltando y riendo, molestando con Apollo por toda la playa. Cuando regresamos volví a ver mi computador abierto, justo en el Nullstellensatz. Al parecer exteriorizar las cosas me ayudó a comprender con lo que estaba atorado. Volví a revisar las formulaciones que tenía del teorema y encontré la relación que guardan entre ellas

Teorema (V1): Sea k un cuerpo no contable algebraicamente cerrado. Si f \in k[x_1 , x_2, \cdots , x_n] se vuelve cero idénticamente en los puntos de V(I) para algún ideal I \subseteq k[x_1 , x_2, \cdots , x_n], entonces f^r \in I para algún r
Teorema (V2): Sea S \subseteq k[x_1 , x_2, \cdots , x_n] y sea V(S) = \{ \textbf{x} \in k^n : f(\textbf{x}) = 0, \forall f \in S \}, entonces si I, J son ideales radicales en k[x_1 , x_2, \cdots , x_n] con I \subset J, entonces V(J) \subset V(I)
Teorema (V3): (Nullstellensatz fuerte) Sean P_1 , P_2 , \cdots , P_m , R \in k[x_1 , x_2, \cdots , x_n] polinomios donde \textbf{x} = (x_1 , x_2, \cdots , x_j), entonces solo una de las siguientes condiciones se cumple:
(i) Existen polinomios Q_1 , Q_2 , \cdots , Q_m \in k[x_1 , x_2, \cdots , x_n] y un número natural r tal que P_1Q_1 + P_2Q_2 + \cdots + P_mQ_m = R^r
(ii) El sistema de ecuaciones P_1 = \cdots = P_m = 0, R \neq 0 tiene una solución

Tratemos de desglosar los anteriores enunciados para así comprender el teorema. Analicemos el Teorema (V1) y el (V3). En primer lugar, ¿qué es un cuerpo? Bueno, un cuerpo es una estructura algebraica con 2 operaciones internas tal que \langle F, + \rangle es un grupo abeliano con identidad y \langle F - \{ 0 \} , \cdot \rangle es un grupo abeliano con identidad y el producto distribuye a la suma. Es decir, un cuerpo es un conjunto donde para cada a \in F existe -a \in F y para cada b \in  F - \{ 0 \} existe b^{-1} \in  F - \{ 0 \} , se cumplen asocitividad y conmutatividad. Al ser una estructura algebraica lo podemos pensar como una estructura, como aquellos edificios en NY con una estructura de hierro. En esta estructura los véertices representan una operación binaria y las flechas entre los cubos la distributividad. Cada nodo es un elemento del grupo, y el centro de cada grupo es el elemento neutro.

Así, de esta forma, podemos entender a un grupo como un puente colgante, donde las sogas que unen cada lado representen la distributividad.

Comprendamos ahora el concepto de algebraicamente cerrado. Decimos que un cuerpo es algebraicamente cerrado si todo polinomio no constante con variables en el cuerpo tiene raíces (soluciones) en el cuerpo. Esto lo podemos pensar como que la carretera que lleva el puente está llena de agujeros, la única forma en la que no tenga agujeros es si el cuerpo es algebraicamente cerrado. La clausura algebraica es rellenar todos esos huecos.

Por último entendemos una extensión algebraica. Una extensión de un cuerpo es un cuerpo tal que el primero es subcuerpo del segundo. Decimos que dicha extensión es algebraica si cada elemento del segundo es algebraico obre el primero, es decir, todo elemento es raíz de un polinomio no nulo con coeficientes en el primero. Esto lo podemos vr como un puente, que tiene un punte detrás que lo hace más grande.

Así, tenemos que el Nullstellensatz es un puente algebraicamente cerrado. Tomamos una cantidad finita de autos del puente, entonces o todos pueden ser luceros (el cero) o todos están puestos de modo que no se puede ver el 0 pero sí el 1.

Esta es una breve y muy visual manera de entender el teorema. Hace falta comprender de la versión 2 unos conjuntos muy relacionados con la geometría algebraica, esto será en la sección de Exploraciones. Pero todo lo anterior nos permite ver que, con un poco de creatividad todas las matemáticas se pueden ver como una obra de arte… aunque, eso es lo que son.

Bibliografía:

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